Question

如图，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F，M，N分别是矩形四条边的中点，G，H分别是线段ON，CN的中点．
（1）证明：直线EG与FH的交点L在椭圆W：上；
（2）设直线l：与椭圆W：有两个不同的交点P，Q，直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求的最大值及取得最大值时m的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）当或时，取得最大值.

试题分析：解题思路：（1）由点写出直线方程，联立直线方程得到交点坐标，，验证点满足椭圆方程；（2）联立直线与椭圆的方程，常用“设而不求”的方法，求弦长，进而求所求比值，常用换元法求最值.规律总结：直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程，整理得关于的一元二次方程，常用“设而不求”的方法进行求解.
试题解析：（1）点，，，，
则直线EG：，直线FH：，
则直线EG与FH的交点，
因为，故直线EG与FH的交点L在椭圆W：上．
（2）联立方程组消去y，得，
设，，则，，
由及得．
，
若直线l过A点时，，
①当时，，，当时，最大值．
②当时，设，，，
，令，则，
当，即，时，取最大值．
综上所述，当或时，取得最大值．