Question

已知周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷点，则点落在△OAB内的概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：根据扇形面积公式，利用基本不等式，求出当圆心角α=2时，扇形的面积S有最大值，再利用几何概型计算公式，即可求出所求的概率．
解答：解：设扇形周长为m，半径为r，则弧长l=m-2r．
∴扇形的面积S=lr=r（m-2r）=•2r•（m-2r）
∵2r•（m-2r）≤=，
∴当且仅当r=时，扇形的面积S的最大值为．
此时扇形的弧长为，故此时扇形的圆心角为α==2
因此，点落在△OAB内的概率为
P====sin2
答：当扇形面积最大时，向其内任意掷点，该点落在△OAB内的概率是sin2．
点评：本题给出周长为定值的扇形，求其面积最大时掷点，能落在在△OAB内的概率．着重考查了扇形的面积公式、弧长公式、基本不等式求最值和几何概型等知识，属于中档题．