Question

已知公差d大于零的等差数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和为S_n，且满足：a₃?a₄=35，S₃=9．
（1）求通项a_n；
（2）当a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+4（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）由已知，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（2）由题意a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+4①
可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n +a_n+1b _n+1=[2（n+1）-3]•2ⁿ⁺¹+4②
②-①得a_n+1b_n+1=2ⁿ（2n+1），又a_n+1=2n+1
∴b_n+1=2ⁿ，
又a₁b₁=（2-3）•2+4=2，可得b₁=2，故b_n=．
数列{b_n}是从第二项开始以b₂=2为首项，以2为公比的等比数列，首项b₁=2，
T_n=2+2×=2ⁿ
分析：（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式 列出关于a₁，d方程组并解出a₁，d后，即可求出通项a_n．
（2）由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+4①得出a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n +a_n+1b _n+1=[2{n+1）-3]•2ⁿ⁺¹+4②
两式相减，求出 b_n=2 ^n-1．再利用等比数列求和公式计算．
点评：本题考查等差数列通项公式及前n项和公式，等比数列的判定及前n项和公式．对a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+4 看作数列{a_nb_n}和的表达式，类比于数列中a_n 与 Sn的关系，求出a_n+1b _n+1=2n（2n+1），b_n+1=2ⁿ是关键．