Question

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x） 在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对?x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

2n

i=1

xi=1，证明：

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），f'（x）=1+lnx，f″(x)=

1

x

＞0，由此能够证明函数f（x）=xlnx是定义域（0，+∞）内的下凸函数，并作出其图象．
（2）由下凸函数f（x）=xlnx的图象特征可知：

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)，故x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]．
（3）由S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），知S（n）=4^n-1+S（n-1），（n≥1），由此得到证明

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*），即证

2n

i=1

xilnxi≥-ln2n．可以用数学归纳法进行证明，也可用放缩法进行证明．

解答：解：（1）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），
f'（x）=1+lnx，f″(x)=

1

x

＞0，
故函数f（x）=xlnx是定义域（0，+∞）内的下凸函数，…（2分）
函数f（x）=xlnx在（0，

1

e

]单调递减，在[

1

e

，+∞）单调递增，
且f（

1

e

）=-

1

e

，f（1）=0，f（e）=e，…（3分）
故其图象如下图所示．…．（4分）
（2）由下凸函数f（x）=xlnx的图象特征可知：

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)，
故x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]
≥x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]
（当且仅当x₁=x₂时取=号）…．（6分）
（3）∵S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），
∴S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6]+…+N（2ⁿ）]，
∴S（n）=4^n-1+S（n-1），（n≥1），
∵S₁=N（1），S（1）=2，…（7分）
∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+2=

4n+2

3

…（8分）
∴ln

1

3S(n)-2

=-ln2n，
故证明

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）
即证

2n

i=1

xilnxi≥-ln2n…（9分）
（证法一）数学归纳法
ⅰ）当n=1时，由（2）知命题成立．
ⅱ）假设当n=k（ k∈N^*）时命题成立，
即若x1+x2+…+x2k=1，
则x1lnx1+x2lnx2+…+x2klnx2k≥-ln2k…（10分）
当n=k+1时，x₁，x₂，…，x2k+1-1，x2k+1满足 x1+x2+…+x2k+1-1+x2k+1=1．
设F(x)=x1lnx1+x2lnx2+…+x2k+1-1lnx2k+1-1+x2k+1lnx2k+1，
由（2）得F(x)≥(x1+x2)ln[(x1+x2)-ln2]+…+(x2k+1-1+x2k+1)ln[(x2k+1-1+x2k+1)-ln2]
=(x1+x2)ln(x1+x2)+…+(x2k+1-1+x2k+1)ln(x2k+1-1+x2k+1)-(x1+x2+…+x2k+1)ln2
=(x1+x2)ln(x1+x2)+…+(x2k+1-1+x2k+1)ln(x2k+1-1+x2k+1)-ln2．
由假设可得 F（x）≥-ln2^k-ln2=-ln2^k+1，命题成立．
所以当 n=k+1时命题成立…（13分）
由ⅰ），ⅱ）可知，对一切正整数n∈N^*，命题都成立，
所以 若

2n

i=1

xi=1，则 

2n

i=1

xilnxi≥-ln2n（i，n∈N^*）．
即有

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．   …（14分）
（证法二）若x1+x2+…+x2n=1，
那么由（2）可得x1lnx1+x2lnx2+…+x2nlnx2n≥(x1+x2)ln[(x1+x2)-ln2]+…+(x2n-1+x2n)ln[(x2n-1+x2n)-ln2]…（10分）
=(x1+x2)ln(x1+x2)+…+(x2n-1+x2n)ln(x2n-1+x2n)-(x1+x2+…+x2n)ln2…（11分）
=(x1+x2)ln(x1+x2)+…+(x2n-1+x2n)ln(x2n-1+x2n)-ln2…（12分）
≥(x1+x2+x3+x4)ln(x1+x2+x3+x4)+…(x2n-1+x2n)ln(x2n-1+x2n)-2ln2…（13分）
≥…≥(x1+x2+…+x2n)ln[(x1+x2+…+x2n)-ln2]-(n-1)ln2=-ln2ⁿ．
即有

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．   …（14分）

点评：本题考查下凸函数的证明，函数图象的画法，不等式的比较和证明，综合性强，难度大，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．