Question

20．在平面直角坐标系中，曲线y=x²-4x+3与两坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）判断直线ax-y-3a+1=0与圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）求出曲线y=x²-4x+3与y轴的交点为（0，3），与x轴的交点为（1，0），（3，0），确定圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）求出直线所过定点的坐标，进而判断定点与圆的关系，可得结论．

解答 解：（1）曲线y=x²-4x+3与y轴的交点为（0，3），与x轴的交点为（1，0），（3，0），
故可设C的圆心为（2，t），则有（2-0）²+（t-3）²=（2-1）²+（t-0）²，解得t=2，
则圆C的半径为$\sqrt{（2-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以圆C的方程为（x-2）²+（y-2）²=5；
（2）直线ax-y-3a+1=0可化为：a（x-3）-y+1=0，
当x=3，y=1时，a（x-3）-y+1=0恒成立，
故直线ax-y-3a+1=0恒过（3，1）点，
又由x=3，y=1时，（x-2）²+（y-2）²=2＜5，
故（3，1）点在圆C的内部，
故直线与圆一定相交．

点评 本题考查的知识点是圆的标准方程，二次函数的性质，直线与圆的位置关系，难度中档．