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    如果对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，而且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf （x）=0对任意实数x都成立，则称f（x） 是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：①f（x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；②f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”；③“-伴随函数”至少有一个零点．其中不正确的序号是（ ）
    A．①②
    B．②③
    C．③
    D．①
    【答案】分析：根据“λ-伴随函数”的定义，可得f（x）=C（C是常数）必定是“λ-伴随函数”，f（x）=0不是唯一一个，故①不正确；
    假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，得（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，而找不到λ使上式成立，故f（x）=x2不是一个“λ-伴随函数”，②不正确；根据“λ-伴随函数”的定义，结合函数零点存在性定理，可证出“-伴随函数”至少有一个零点，得③正确．由此可得正确答案．
    解答：解：对于①，设f（x）=C（C是常数）是一个“λ-伴随函数”，则f（x+λ）+λf （x）=（1+λ）C=0，
    当λ=-1时，C可以取遍实数集，因此f（x）=C（C是常数）必定是“λ-伴随函数”，
    可得f（x）=0 不是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”，故①不正确；
    对于②，假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，则f（x+λ）+λf （x）=（x+λ）2+λx2=0，
    即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而找不到λ使此式成立，
    所以f（x）=x2不是一个“λ-伴随函数”，故②不正确．
    对于③，令x=0，得f（0+）+f（0）=0，所以f（）=-f（0）．
    当f（0）=0时，显然f（x）=0有实数根；
    当f（0）≠0时，f（）•f（0）=-[f（0）]2＜0．因为函数f（x）函数图象是连续不断的，
    所以f（x）在（0，）上必有实数根，
    综上所述，因此“-伴随函数”至少有一个零点．故③正确．
    故答案为：A
    点评：本题给出抽象函数，叫我们找出三个命题中的假命题，着重考查了基本初等函数的图象与性质，函数零点存在性定理等知识，属于中档题．
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    1
    2
    -伴随函数”至少有一个零点．其中不正确的序号是（　　）

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    科目：高中数学 来源：福建省泉州一中2012届高三5月模拟考试数学文科试题 题型：013

    如果对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，而且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：

    ①f(x)＝0是常数函数中唯一个“λ－伴随函数”；

    ②f(x)＝x2是一个“λ－伴随函数”；

    ③“－伴随函数”至少有一个零点．

    其中不正确的序号是

    [　　]

    A．①②

    B．②③

    C．③

    D．①

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    科目：高中数学 来源： 题型：单选题

    如果对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，而且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf （x）=0对任意实数x都成立，则称f（x） 是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：①f（x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；②f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”；③“数学公式-伴随函数”至少有一个零点．其中不正确的序号是


    1. A.
      ①②
    2. B.
      ②③
    3. C.
      ③
    4. D.
      ①

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    如果对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，而且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf （x）=0对任意实数x都成立，则称f（x） 是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：①f（x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；②f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”；③“
    1
    2
    -伴随函数”至少有一个零点．其中不正确的序号是（　　）
    A．①②B．②③C．③D．①

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