Question

已知函数f（x）=log_a（x+3）-log_a（3-x），a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得

x+3＞0 3-x＞0

，从而求定义域；
（2）可判断函数f（x）是奇函数，再证明如下；
（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得f（x）为增函数，从而求最值．

解答： 解：（1）由题意知，

x+3＞0 3-x＞0

；
解得，-3＜x＜3；
故函数f（x）的定义域为（-3，3）；
（2）函数f（x）是奇函数，证明如下，
函数f（x）的定义域（-3，3）关于原点对称；
则f（-x）=log_a（-x+3）-log_a（3+x）=-f（x），
故函数f（x）是奇函数．
（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，
f（x）=log_a（x+3）-log_a（3-x）为增函数，
则函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，
故f_max（x）=f（1）=log_a2．

点评：本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题．