Question

（2011•重庆二模）已知函数f（x）=sinωx（cosωx-sinωx）+

1

2

的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

2

2

，b=1且△ABC的面积为1，求c．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角公式和辅助角公式，化简得f（x）=

2

2

sin（2ωx+

π

4

），利用三角函数的周期公式即可解出ω的值为±

1

2

；
（II）分ω=

1

2

、ω=-

1

2

时两种情况加以讨论，分别解关于A的方程f（A）=

2

2

可得A=

π

4

，结合三角形的面积为1利用正弦定理的面积公式即可算出边c的长．

解答：解：（I）f（x）=sinωx（cosωx-sinωx）+

1

2

=

1

2

sin2ωx+

1

2

（1-2sin²ωx）=

1

2

sin2ωx+

1

2

cosωx=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）
∵函数的最小正周期为2π
∴T=

2π

2ω

=2π，解之得ω=±

1

2

（II）当ω=

1

2

时，f（A）=

2

2

即

2

2

sin（A+

π

4

）=

2

2

∴sin（A+

π

4

）=1，结合A∈（0，π）解之得A=

π

4

∵△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=1，∴

1

2

×1×c×

2

2

=1，解之得c=2
当ω=-

1

2

时，f（A）=

2

2

即

2

2

sin（-A+

π

4

）=

2

2

，
即sin（-A+

π

4

）=1，找不到符合题意的角A
综上所述，得A=

π

4

，边c的长为2

2

点评：本题给出三角函数表达式，求参数ω值并依此解三角形ABC的边c之长．着重考查了三角函数的图象与性质、三角形面积公式和正余弦定理等知识，属于中档题．