Question

当a∈[-1，1]时，f（x）=alg²x+4＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：令g（a）=alg²x+4，当lgx≠0时，利用一次函数的性质，解不等式组

g(-1)＞0 g(1)＞0

即可求得x的取值范围．

解答： 解：令g（a）=alg²x+4，
∵a∈[-1，1]时，g（a）=alg²x+4＞0恒成立，
∴当a=0时，g（a）=4＞0恒成立；
当a≠0且lgx=0，即x=1时，g（a）=4＞0恒成立；
当a≠0且lgx≠0时，g（a）=alg²x+4为一次函数，
∴

g(-1)＞0 g(1)＞0

，即

4-lg2x＞0① 4+lg2x＞0②

，
解①有：-2＜lgx＜2，解得

1

100

＜x＜100且x≠1；
解②得：x∈R，且x≠0．
综上所述，x的取值范围为（

1

100

，100）．

点评：本题考查函数恒成立问题．考查等价转化思想、函数思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．