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如图,在Rt△AOB中,∠OAB=
π6
,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在斜边AB上.
(1)求证:平面COD⊥平面AOB;
(2)设CD与平面AOB所成角的最大值为α,求tanα值.
分析:(1)利用二面角的定义、线面与面面垂直的判定与性质即可得出;
(2)利用线面角的定义及其含30°角的直角三角形的边角关系即可得出.
解答:证明:(1)由已知CO⊥AO,BO⊥AO,
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,
∴∠BOC=
π
2
,∴OC⊥OB.
∵OA∩OB=O,∴OC⊥平面AOB,
∴平面COD⊥平面AOB;
(2)由(1)可知CO⊥平面OAB,∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角.
tan∠CDO=
CO
OD

∵OC=OB=2,
∴当OD⊥AB时,OD取得最小值=OB•sin60°=
3
,此时∠CDO取得最大值α,
且tanα=
2
3
=
2
3
3
点评:熟练掌握二面角的定义、线面与面面垂直的判定与性质、线面角的定义及其含30°角的直角三角形的边角关系是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在Rt△AOB中,∠OAB=
π6
,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在斜边AB上.
(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB;
(Ⅱ)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小;
(Ⅲ)求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在Rt△AOB中,∠OAB=
π6
,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C为直二面角.D是AB的中点.
(I)求证:平面COD⊥平面AOB;
(II)求异面直线AO与CD所成角的大小.

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精英家教网如图,在 Rt△AOB中,∠OAB=
π6
,斜边AB=4,D是AB的中点.现将 Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥体,点C为圆锥体底面圆周上的一点,且∠BOC=90°.
(1)求异面直线AO与CD所成角的大小;
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(2009•普陀区一模)如图,在 Rt△AOB中,∠OAB=
π6
,斜边AB=4,D是AB的中点.现将 Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥体,点C为圆锥体底面圆周上的一点,且∠BOC=90°.
(1)求该圆锥体的体积;
(2)求异面直线AO与CD所成角的大小.

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