Question

（2013•日照一模）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，下列判断正确的是（　　）

A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点

B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个

C．λ+μ的最大值为3

D．λ+μ的最小值不存在

Answer 1

分析：建立坐标系可得

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．

解答：解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，
则B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），
所以

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），
当λ=μ=1时，

AP

=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误；
当λ=1，μ=0时，

AP

=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，
当λ=

1

2

，μ=

1

2

时，

AP

=（0，

1

2

），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，
故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．
故选C

点评：本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．