Question

（2012年高考（广东理））设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求数列的通项公式;

(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.

Answer 1

解析:(Ⅰ)由,解得.

(Ⅱ)由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,,所以,即(),当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.

(Ⅲ)因为,所以,所以,于是.

点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题,该加强命题的思考过程如下.

考虑构造一个公比为的等比数列,其前项和为,希望能得到,考虑到,所以令即可.由的通项公式的形式可大胆尝试令,则,于是,此时只需证明就可以了.

当然,的选取并不唯一,也可令,此时,,与选取不同的地方在于,当时,,当时,,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.

当时,;当时,;当时,.

当时,,所以

.

综上所述,命题获证.

下面再给出的两个证法.

法1:(数学归纳法)

①当时,左边,右边,命题成立.

②假设当(,)时成立,即成立.为了证明当时命题也成立,我们首先证明不等式:(,).

要证,只需证,只需证,只需证,只需证,该式子明显成立,所以.

于是当时,,所以命题在时也成立.

综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数,有.

备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识.

法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供)

当时,显然成立.当时,显然成立.

当时,

,又因为,所以(),所以(),所以

.

综上所述,命题获证.