Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足

CP

=λ

CC1

（λ＞0），当λ=

1

2

时，AB₁⊥BP．
（1）求棱CC₁的长；
（2）若二面角B₁-AB-P的大小为

π

3

，求λ的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,用空间向量求直线间的夹角、距离

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱CC₁的长．
（2）求出平面PAB的一个法向量，和平面ABB₁的一个法向量，由已知条件利用向量法能求出λ的值．

解答： 解：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设CC₁=m，则B₁（3，0，m），
B（3，0，0），P（0，4，λm），
所以

AB1

=(3，0，m)，

PB

=(3，-4，-λm)，

AB

=(3，0，0)，…2分
当λ=

1

2

时，有

AB1

•

PB

=(3，0，m)•(3，-4，-

1

2

m)=0
解得m=3

2

，即棱CC₁的长为3

2

．…4分
（2）设平面PAB的一个法向量为

n1

=（x，y，z），
则由

AB • n1 =0 PB • n1 =0

，得

3x=0 3x-4y-3 2 λz=0

，即

x=0 4y+3 2 λz=0

，
令z=1，则y=-

3 2 λ

4

，
所以平面PAB的一个法向量为

n1

=(0，-

3 2 λ

4

，1)，…6分
又平面ABB₁与y轴垂直，所以平面ABB₁的一个法向量为

n2

=(0，1，0)，
因二面角B₁-AB-P的平面角的大小为

π

3

，
所以|cos＜

n1

，

n2

＞|=

1

2

=|

- 3 2 λ 4

( 3 2 λ 4 )2+1

|，
结合λ＞0，解得λ=

2 6

9

．…10分．

点评：本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．