Question

设函数f(x)=cos(

3

x+φ）（0＜φ＜π），且f（x）+f′（x）为奇函数．
（1）求φ的值；
（2）求f（x）+f′（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）由已知利用辅助角公式可得，
f（x）+f'（x）=cos(

3

x+φ)-

3

sin(

3

x+φ)=2sin(

3

x+φ+

5π

6

)，
由f（x）+f'（x）为奇函数，根据奇函数的性质可得，f（0）+f'（0）=0，从而可求φ的值
（2）由（1）得f（x）+f'（x）=2sin(

3

x+π)=-2sin

3

x．
，根据正弦函数的性质可求最值

解答：解：（1）f（x）+f'（x）=cos(

3

x+φ)-

3

sin(

3

x+φ)=2sin(

3

x+φ+

5π

6

)，
又f（x）+f'（x）是奇函数，
∴f（0）+f'（0）=0，又0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

．
（2）由（1）得f（x）+f'（x）=2sin(

3

x+π)=-2sin

3

x．
∴f（x）+f'（x）的最大值为2，最小值为-2．

点评：本题主要考查了奇函数的性质：若函数g（x）为奇函数，且0在定义域内，则g（0）=0，利用该性质可以简化运算；三角函数的辅助角公式 的应用，正弦函数的最值的求解．