Question

外轮除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域，如图：我国某海岛海岸线是半径为6海里的圆形区域，在直径的两个端点A、B设立两个观察点，已知一外轮在点P处，测得∠BAP=α，∠ABP=β．
（1）当α=30°，β=120°时，该外轮是否已进入我领海主权范围内？
（2）角α，β应满足什么关系时？就应向外轮发出警告，令其退出我海域．

Answer 1

分析：（1）取AB得中点O，连接OP根据α和β求得∴∠APB=30°进而可得AB=PB，利用余弦定理求得OP与18比较大小，进而得出结论．
（2）先利用正弦定理表示出AP和BP，进而设∠POB=θ，利用余弦定理求得AP²和BP²，根据AO=BO求得2PO²=AP²+BP²-2AO²，代入

122sin2β+122sin2α

sin2(α+β)

-2×62＜2×182求得α，β的关系

解答：解：（1）取AB得中点O，连接OP
∵∠α=30°，∠β=120°∴∠APB=30°，∴AB=PB=12
在三角形PBO中，OP²=6²+12²-2×6×12×cos120°=252
∴OP=6

7

＜18
故该外轮已经进入我领海主权范围内．
（2）在三角形APB中，∠BAP=α，∠ABP=β，AB=12，由正弦定理得：

PA

sinβ

=

PB

sinα

=

12

sin(α+β)

∴AP=

12sinβ

sin(α+β)

，BP=

12sinα

sin(α+β)

在三角形POB与PBO中，设∠POB=θ∴AP²=AO²+PO²-2AO•POcos（π-θ），
∴BP²=BO²+PO²-2BO•POcosθ，AO=BO∴AP²+BP²=2AO²+2PO²
∴2PO²=AP²+BP²-2AO²，当PO＜18时
得：

122sin2β+122sin2α

sin2(α+β)

-2×62＜2×182
即sin²α+sin²β＜2sin²（α+β）．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题的常用公式，应熟练记忆．