Question

(文)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.

(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

(2)年销售量关于x的函数为y＝3240(－x²＋2x＋)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

0＜x＜时   当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元。

解析:

(文)(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)；本年度年销售量为5000×(1＋0.4x)，因此本年度的利润为y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x²＋1500x＋15000(0＜x＜1)，由－1800x²＋1500x＋15000>15000，解得0＜x＜，所以当0＜x＜时，本年度的年利润比上年度有所增加.　　　　　　　　　　　5分

(2)本年度的利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×(－x²＋2x＋)＝3240×(0.9x³－4.8x²＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x²－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)　　　　　　　　　　　　8分

由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

∴当x＝时，f(x)取极大值f()＝20000万元，

因为f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，

所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元。　　　　　　12分