Question

某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年产量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系式为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的50％”之和．

(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

(注：①“年平均每件成本”中不计广告费支出；②假定每年生产的产品当年全部售出)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)利润＝年收入－年成本－年广告费，售价＝×150％＋×50％， 　　收入＝(3＋32Q)×150％＋50％x， 　　∴y＝(3＋32Q)×150％＋50％x－(3＋32Q)－x 　　＝(32Q＋3－x) 　　＝(32×＋3－x) 　　＝[32×(3－2x＋1)＋3－x] 　　＝50－(＋x＋1)． 　　当x＝100时，y＝50－12(＋101)＜0， 　　∴此时企业亏损． 　　(2)∵64x＋1＋x＋1≥＝16， 　　∴y＝50－(＋x＋1)≤50－8＝42． 　　当且仅当＝x＋1，即x＝7时取等号． 　　故当广告投入7万元时，企业年利润最大． 　　ymax＝42．