Question

右图是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

．
（Ⅰ）根据图象求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[ 

π

2

 ， π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数模型f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知A=2，由

2π

ω

=T=4π可求得ω=

1

2

，结合最高点坐标与φ的范围可求得φ；
（Ⅱ）解法一：将y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=g（x）=2sin（x-

π

6

），由

π

2

≤x≤π，可得到

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，从而可求函数y=g（x）在[ 

π

2

 ， π]上的最大值和最小值；
解法二：同解法一，得到y=g（x）=2sin（x-

π

6

），令t=x-

π

6

，可求得函数y=2sint的单调递增区间是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，还原x后得到-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，分析y=g（x）在区间[

π

2

，

2π

3

]上单调递增，在区间[

2π

3

，π]上单调递减，从而可求最值．

解答：解：（Ⅰ）由函数模型f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知A=2；
由

2π

ω

=T=

13π

3

-

π

3

=4π，得ω=

1

2

，
由最高点（

4π

3

，2）得，

1

2

×

4π

3

+φ=2kπ+

π

2

，
∴φ=-

π

6

+2kπ，又-

π

2

＜?＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴函数y=f（x）的解析式为y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）（x≥0）；
（Ⅱ）解法一：将y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=g（x）=2sin（x-

π

6

），
∵

π

2

≤x≤π，
∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，
∴当x-

π

6

=

π

2

，即x=

2π

3

时，g（x）有最大值2，
当x-

π

6

=

5π

6

，即x=π时，g（x）有最小值1；
解法二：将y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=g（x）=2sin（x-

π

6

），
令t=x-

π

6

，
∵函数y=2sint的单调递增区间是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得，由-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，
设A=[

π

2

，π]，B={x|-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，}，则A∩B=[

π

2

，

2π

3

]，
∴函数y=g（x）在区间[

π

2

，

2π

3

]上单调递增，
同理可得，函数y=g（x）在区间[

2π

3

，π]上单调递减．
又∵g（

π

2

）=

3

，g（

2π

3

）=2，g（π）=1，
∴函数y=g（x）在[

π

2

，π]上的最大值为2，最小值为1．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，图象的平移伸缩变换，考查推理论证能力，运算求解能力，考查方程与函数、数形结合的思想方法，属于难题．