Question

已知一系列的抛物线C_n的方程为y=a_nx²（n∈N^*，a_n＞1），过点A_n（n，a_nn²）作该抛物线C_n的切线l_n与y轴交于点 B_n，F_n是 C_n的焦点，△A_nB_nF_n的面积为n³
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：1+

3

2

≤a_n＜2；
（3）设b_n=2a_n-a_n²，求证：当n≥1时，b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）A_n（n，a_nn²）在抛物线C_n上，y^′=2a_nx，则切线l_n的斜率为2a_nn，切线方程为  y-a_nn²=2 a_nn（x-n）．令x=0，得y=-a_nn²，由此能求出a_n．
（2）由a_n=1+

1

2n

4n2-1

=1+

1- 1 4n2

，{a_n}为递增数列，由a_n≥1+

1- 1 4

=1+

3

2

，由此能证明1+

3

2

≤a_n＜2．
（3）．由bn=2an-

a

2 n

=

1

4n2

，知b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn=

1

4

(

1

12

+

2

22

+

3

32

+…+

n

n2

)，由此能够证明b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn＜

3

4

．

解答：解：（1）A_n（n，a_nn²）在抛物线C_n上，
∵y=a_nx²，
∴y^′=2a_nx，
则切线l_n的斜率为2a_nn，
切线方程为  y-a_nn²=2 a_nn（x-n）…（2分）
令x=0，得y=-a_nn²，，
∴B_n（0，-a_nn²），
又F_n（0，

1

4an

）
∴S_△AnBnFn=

1

2

（

1

4an

+a_nn²）n=n³
∴

1

4an

+a_nn²=2n²，即4n²a_n²-8n²a_n+1=0，…（3分）
∴△=64n⁴-16n²=16n²（4n²-1）＞0，
∵a_n＞1，
∴a_n=1+

1

2n

4n2-1

…（4分）
（2）证明：∵a_n=1+

1

2n

4n2-1

=1+

1- 1 4n2

，
{a_n}为递增数列，
∴a_n≥1+

1- 1 4

=1+

3

2

．…（6分）
又a_n＜1+

1

=2，
∴1+

3

2

≤a_n＜2．…（8分）
（3）．证明：bn=2an-

a

2 n

=

1

4n2

…（9分）
∴b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn=

1

4

(

1

12

+

2

22

+

3

32

+…+

n

n2

)
∵k≥2时，

k

k2

=

1

k • k • k

=

2

( k + k ) k • k

＜

2

( k + k-1 ) k • k-1

=

2( k - k-1 )

k • k-1

=2(

1

k-1

-

1

k

)…（12分）
∴b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn≤

1

4

[1+2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

k-1

-

1

k

)]
=

1

4

[1+2(1-

1

n

)]=

1

4

(3-

2

n

)＜

3

4

…（14分）

点评：本题考查数列和解析几何的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．