Question

当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为

3

的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

分析：不妨设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则其“伴生椭圆”的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．由于

3

=

c

a

=

1+ b2 a2

，解得

b2

a2

=2．可得其“伴生椭圆”的离心率e=

1- a2 b2

．

解答：解：不妨设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则其“伴生椭圆”的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
∵

3

=

c

a

=

1+ b2 a2

，解得

b2

a2

=2．
∴其“伴生椭圆”的离心率e=

1- a2 b2

=

2

2

．
故选：B．

点评：本题考查了双曲线与椭圆的标准方程及其性质、新定义“伴生椭圆”的意义，属于基础题．