Question

设函数
（1）若函数f（x）在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）函数的导数f'（x）=2x-=
∵函数f（x）在其定义域内是减函数
∴f'（x）≤0在上恒成立
又∵时，2x+1＞0
∴不等式2x²+x-a≤0在上恒成立，即a≥2x²+x在上恒成立
令g（x）=2x²+x，，则g（x）_max=g（1）=3∴a≥3
（2）∵f'（x）=，令f'（x）=0
解得，
由于a＞0，，
∴，
①当即0＜a＜3时，在上f′（x）＜0；在（x₂，1）上f′（x）＞0，
∴当时，函数f（x）在上取最小值．
②当即a≥3时，在[]上f′（x）≤0，
∴当x=1时，函数f（x）在[]上取最小值．
由①②可知，当0＜a＜3时，函数f（x）在时取最小值；
当a≥3时，函数f（x）在x=1时取最小值．（12分）
分析：（1）求出函数的导数，由于函数在定义域内是减函数，故导数小于等于0恒成立，由此不等式即可求出参数a的范围；
（2）在函数的定义域上研究其单调性，判断最值是否存在即可，可以先研究函数的极值，再比较极值与定义域区间点的大小，看最小值是否存在．
点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，综合考查了用导数研究函数的单调性，以及依据单调性判断函数的最值的规则步骤，综合性较强，知识性较强．用导数研究函数的单调性是一很好的方法，做题时要注意灵活选用．