Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角．
（1）求证：AC⊥面ABC₁；
（2）求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（3）求此三棱柱体积的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据棱柱的性质，我们可得A₁C₁∥AC，又由已知中A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，我们根据线面垂直的判定定理可得AC⊥面ABC₁；
（2）根据（1）的结论，由线面垂直的判定定理可得平面ABC⊥平面ABC₁，在平面ABC₁内，过C₁作C₁H⊥AB于H，则C₁H⊥平面ABC，即C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（3）连接HC，由（2）的结论可得C₁H⊥平面ABC，即∠C₁CH就是侧棱CC₁与底面所成的角，由已知中侧棱与底面成60°角，故可得当CH=AC时，棱柱的体积取最小值，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．

解答：证明：（1）由棱柱性质，可知A₁C₁∥AC，∵A₁C₁⊥BC₁，
∴AC⊥BC₁，又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC₁
（2）由（1）知AC⊥平面ABC₁，又AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC₁，
在平面ABC₁内，过C₁作C₁H⊥AB于H，则C₁H⊥平面ABC
故点C₁在平面ABC上的射影H在直线AB上．
解：（3）连接HC，由（2）知C₁H⊥平面ABC，
∴∠C₁CH就是侧棱CC₁与底面所成的角，
∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH•tan60°=

3

CH
V_棱柱=S△ABC•C1H=

1

2

AB×AC×C1H=

1

2

×3×2×

3

CH=3

3

CH
∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，
所以棱柱体积最小值3

3

×2=6

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱柱的体积，空间线面关系，其中熟练掌握空间直线与平面平行或垂直的判定、性质、定义及几何特征是解答本题的关键．