Question

凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对D内的任意x₁，x₂，…，x_n都有≤f().已知函数f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则

(1)求△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值.

(2)判断f(x)＝2^x在R上是否为凸函数.

Answer 1

(1)∵f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，A、B、C∈(0，π)且A＋B＋C＝π，

∴≤f()＝f()，

即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝.

所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.

(2)∵f(－1)＝，f(1)＝2，

而＝＝，

而f()＝f(0)＝1，

∴>f().

即不满足凸函数的性质定理，故f(x)＝2^x不是凸函数.