Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（-

1

2

，

3

2

），其中α是锐角．
（Ⅰ）当α=30°时，求|

a

+

b

|；
（Ⅱ）证明：向量

a

+

b

与

a

-

b

垂直；
（Ⅲ）若向量

a

与

b

夹角为60°，求角α．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）当α=30°时，求得

a

+

b

的坐标，可得|

a

+

b

|的值．
（Ⅱ）由条件求得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，从而证得向量

a

+

b

与

a

-

b

垂直．
（Ⅲ）若向量

a

与

b

夹角为60°，根据两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得 sin(α-

π

6

)=

1

2

，从而得到角α的值．

解答： （Ⅰ）解：当α=30°时，

a

=（

3

2

，

1

2

），所以，

a

+

b

=（

3 -1

2

，

3 +1

2

），
所以，|

a

+

b

|=

( 3 -1 2 )2+( 3 +1 2 )2

=

2

．
（Ⅱ）证明：由向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（-

1

2

，

3

2

），
得

a

+

b

=（cosα-

1

2

，sinα+

3

2

），

a

-

b

=（cosα+

1

2

，sinα-

3

2

），
由 α∈(0，

π

2

)，得向量

a

+

b

，

a

-

b

均为非零向量．
因为（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=（cos²α+sin²α）-（

1

4

+

3

4

）=0，
所以向量

a

+

b

与向量

a

-

b

 垂直．
（Ⅲ）解：因为|

a

|=|

b

|=1，且向量

a

与

b

夹角为60°，
所以

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos60°=

1

2

，所以 -

1

2

cosα+

3

2

sinα=

1

2

，即 sin(α-

π

6

)=

1

2

．
因为 0＜α＜

π

2

，所以 -

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
所以 α-

π

6

=

π

6

，即α=

π

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于基础题．