【题目】已知函数f(x)=bax(a>0,且a≠1,b∈R)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)设g(x)= ﹣ ,确定函数g(x)的奇偶性;
(2)若对任意x∈(﹣∞,1],不等式( )x≥2m+1恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)=bax(a>0,且a≠1,b∈R)的图象经过点A(1,6),B(3,24),
∴ ,解得:a=2,b=3,
∴f(x)=32x,
又g(x)= ﹣ = ﹣ ,
∴g(x)+g(﹣x)= + ﹣ ×2= + ﹣ = ﹣ =0,
∴g(﹣x)=﹣g(x),
∴函数g(x)为奇函数
(2)解:由(1)知,a=2,b=3,
∴对任意x∈(﹣∞,1],不等式( )x≥2m+1恒成立2m+1≤[ ]min,x∈(﹣∞,1],
∵y= 为减函数,
∴当x∈(﹣∞,1]时,[ ]min= = ,
∴2m+1≤ ,
∴m≤﹣ ,
即实数m的取值范围为(﹣∞,﹣ ]
【解析】(1)依题意,可得 ,解得:a=2,b=3,即f(x)=32x , 故g(x)= ﹣ = ﹣ ,利用g(x)+g(﹣x)=0可确定函数g(x)的奇偶性;(2)任意x∈(﹣∞,1],不等式( )x≥2m+1恒成立2m+1≤[ ]min , x∈(﹣∞,1],利用指数函数的单调性可求得当x∈(﹣∞,1]时,[ ]min= = ,从而可求实数m的取值范围.
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【题目】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.
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【题目】(本小题满分12分)
设函数.
(1)求的单调区间和极值;
(2)若关于的方程有3个不同实根,求实数a的取值范围;
(3)已知当恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;
(2)当x∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)﹣f(x)的值域.
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【题目】已知点A(0,﹣2),椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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【题目】已知数列、,其中, ,数列满足,,数列满足.
(1)求数列、的通项公式;
(2)是否存在自然数,使得对于任意有恒成立?若存在,求出的最小值;
(3)若数列满足,求数列的前项和.
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【题目】已知等差数列{an}满足a4=5,a2+a8=14,数列{bn}满足b1=1,bn+1=2 bn .
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{ }的前n项和;
(3)若cn=an( ) ,求数列{cn}的前n项和Sn .
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