Question

8．点F是椭圆E：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的左焦点，过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点，若△AOB的面积为$\frac{9}{2}$，则直线l的斜率是$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

Answer 1

分析 求出椭圆的a，b，c，求得F的坐标，设直线AB：x=my-4，（m＞0），代入椭圆方程，可得（25+9m²）y²-72my-81=0，运用韦达定理，由△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{9}{2}$，两边平方，化简整理，解方程即可得到m，进而得到直线l的斜率．

解答 解：椭圆E：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的a=5，b=3，c=4，
则F（-4，0），
设直线AB：x=my-4，（m＞0），
代入椭圆方程，可得（25+9m²）y²-72my-81=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=$\frac{72m}{25+9{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-81}{25+9{m}^{2}}$，
则|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=（$\frac{72m}{25+9{m}^{2}}$）²-4•$\frac{-81}{25+9{m}^{2}}$=$\frac{8100（1+{m}^{2}）}{（25+9{m}^{2}）^{2}}$，
则△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{9}{2}$，
两边平方可得，16•$\frac{8100（1+{m}^{2}）}{（25+9{m}^{2}）^{2}}$=81，
解得m=$\sqrt{15}$，
即有直线l的斜率为$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．