Question

7．一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据：
（1）画出该几何体的直观图；
（2）求该几何体的表面积；
（3）求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与正四棱锥的组合体，结合图中数据画出它的直观图；
（2）该几何体的表面积是S_圆柱+S_{棱锥侧面积}-S_{棱锥底面积}；
（3）该几何体的体积是V_圆柱+V_棱台．

解答 解：（1）根据几何体的三视图，得；
该几何体是下部为圆柱体，上部为正四棱锥的组合体，
且圆柱体的高为3，底面半径为2，
四棱锥的底面为圆柱底面圆的内接正四边形，棱长为3，
如图所示；
（2）该几何体的表面积为
S=S_圆柱+S_{棱锥侧面积}-S_{棱锥底面积}
=（2π•2²+2π•2•3）+4•$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•$\sqrt{{3}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$-${（2\sqrt{2}）}^{2}$
=20π+4$\sqrt{14}$-8；
（3）该几何体的体积为
V=V_圆柱+V_棱台
=π•2²•3+$\frac{1}{3}$•${（2\sqrt{2}）}^{2}$•$\sqrt{{3}^{2}{-2}^{2}}$
=12π+$\frac{8}{3}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了作图能力的应用问题，考查了计算能力与空间想象能力的应用问题，是综合题目．