Question

点P是直线l：x-y-2=0上的动点，点A，B分别是圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：x²+（y-3）²=1上的两个动点，则|PA|+|PB|的最小值为

73

-3

．

Answer 1

分析：根据题意，算出圆C₂关于直线l对称的圆C'方程为（x-5）²+（y+2）²=1．当点P位于线段C₁C'上时，线段AB'长是圆C₁与圆C'上两个动点之间的距离最小值，由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算，即可得出|PA|+|PB|的最小值．

解答：解：设圆C'是圆C₂：x²+（y-3）²=1关于直线l对称的圆
可得C'（5，-2），圆C'方程为（x-5）²+（y+2）²=1
可得当点P位于线段C₁C'上时，线段AB'长是圆C₁与圆C'上两个动点之间的距离最小值
B'关于直线l对称的点在圆C₂上，由平几知识得当圆C₂上的
动点B与该点重合时，|PA|+|PB|达到最小值
∵|C₁C'|=

(5+3)2+(-2-1)2

=

73

，
可得|AB'|=|C₁C'|-r₁-r₂=

73

-3
因此，|PA|+|PB|的最小值等于|AB'|=

73

-3
故答案为：

73

-3

点评：本题给出直线l与两个定圆，求圆上两个点A、B与直线l上动点P的距离之和的最小值，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．