Question

如图棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD；
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）设AB=a，∠BAC=30°，四边形AA₁C₁C的面积为3a2，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积、

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，我们根据菱形的性质及面面垂直的性质定理，易得BD⊥平面AA₁C₁C，再由线面垂直的性质，即可得到BD⊥AA₁；
（Ⅱ）由已知中AB=a，∠BAC=30°，四边形AA₁C₁C的面积为3a²，我们可计算出棱柱底面ABCD的面积及高AA₁的长度，然后代入棱柱体积公式，即可得到答案．
解答：证明：（Ⅰ）∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又由AA₁?平面AA₁C₁C
∴BD⊥AA₁；
（Ⅱ）∵AB=a，∠BAC=30°，
则AC=，BD=a
∴S_ABCD=2×AB•AD•sin∠A=
又四边形AA₁C₁C的面积为3a²，
∴AA₁=，
∴V=AA₁•S_ABCD=
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，棱柱的体积，熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间垂直关系的相互转化是解答本题的关键．