Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a为常数）
（1）若直线x+y+1=0是曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导f′（x）=

1

x

-a=-1，从而可得

1

a-1

+ln

1

a-1

-a

1

a-1

+1=0；从而求a；
（2）化简f（x）=lnx-ax，求导f′（x）=

1

x

-a，从而讨论a以确定函数的单调性，从而求最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=

1

x

-a=-1，
∴x=

1

a-1

，f（

1

a-1

）=ln

1

a-1

-a•

1

a-1

；
故

1

a-1

+ln

1

a-1

-a•

1

a-1

+1=0；
故ln

1

a-1

=0；
解得，a=2；
（2）f（x）=lnx-ax，f′（x）=

1

x

-a，
①当a≤

1

2

时，f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，
故故f（x）=lnx-ax在区间[1，2]上是增函数，
故f_max（x）=f（2）=ln2-2a；
②当

1

2

＜a＜1时，
当x∈[1，

1

a

]时，f′（x）≥0；当x∈[

1

a

，2]时，f′（x）≤0；
故f（x）=lnx-ax在区间[1，2]上先增后减，
故f_max（x）=max{f（2），f（1）}；
即当

1

2

＜a＜ln2时，f_max（x）=ln2-2a；
当ln2≤a＜1时，f_max（x）=-a；
③当a≥1时，故当x∈[1，2]时，f′（x）≤0；
故f（x）=lnx-ax在区间[1，2]上是减函数，
故f_max（x）=f（1）=-a．
综上所述，a≤ln2时，f_max（x）=f（2）=ln2-2a；
当a＞ln2时，f_max（x）=f（1）=-a．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于基础题．