Question

已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a，则实数a的取值范围是

（2

2

，

10

）

．

Answer 1

分析：由已知中△ABC三边长分别为1、3、a，根据余弦定理的推论得到△ABC为锐角三角形时，由两边长1和3求出a的范围，但3与a边均有可能为最大边，故要分类讨论．

解答：解：∵△ABC三边长分别为1、3、a，
又∵△ABC为锐角三角形，
当3为最大边时3≥a，设3所对的角为α，
则根据余弦定理得：cosα=

a2+1-32

2a

＞0，
∵a＞0，
∴a²-8＞0，
解得3≥a＞2

2

；
当a为最大边时a＞3，设a所对的角为β，
则根据余弦定理得：cosβ=

1+9-a2

6

＞0，
∴10-a²＞0，
解得：3＜a＜

10

，
综上，实数a的取值范围为（2

2

，

10

）．
故答案为：（2

2

，

10

）

点评：本题考查了三角形的形状判断，以及余弦定理的应用，利用了分类讨论的思想．解答本题的关键是利用余弦定理推论出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围．