Question

下列几个命题：
①关于x的不等式ax＜

2x-x2

在（0，1）上恒成立，则a的取值范围为（-∞，1]； 
②函数y=log₂（-x+1）+2的图象可由y=log₂（-x-1）-2的图象向上平移4个单位，向右平移2个单位得到；
③若关于x方程|x²-2x-3|=m有两解，则m=0或m＞4；
④若函数f（2x+1）是偶函数，则f（2x）的图象关于直线x=

1

2

对称．
其中正确的有

①②③④

．

Answer 1

分析：将不等式ax＜

2x-x2

化为a＜

2x-x2

x

=

2 x -1

，根据反比例函数及幂函数的性质求出其最小值，可将恒成立问题转化为a的取值范围，进而判断①的真假；
根据函数图象的平移变换法则，可判断平移前后两个函数关系是否符号平移方式，进而得到②的真假；
根据二次函数的图象及函数图象的对折变换法则，分析函数的图象形状及性质，即可分析出方程|x²-2x-3|=m有两解时，m的取值范围，进而判断③的真假；
根据函数图象的平移法则，及偶函数的对称性，可判断③的真假；

解答：解：关于x的不等式ax＜

2x-x2

在（0，1）上恒成立，即a＜

2x-x2

x

=

2 x -1

在（0，1）上恒成立，当x∈（0，1）时，

2 x -1

＞1，故a的取值范围为（-∞，1]，即①正确； 
将y=log₂（-x-1）-2的图象向上平移4个单位，向右平移2个单位可得y=log₂[-（x-2]-1）-2+4=log₂（-x+1）+2的图象，故②正确；
函数y=|x²-2x-3|是将抛物线y=x²-2x-3的图象位置x轴下方的翻折到x轴上方，且在x=-1或x=3时取极小值0，当x=1时取极大值4，故当m=0或m＞4时与直线y=m有两个交点，故③正确；
f（2x）的图象是由f（2x+1）的图象向右平移

1

2

个单位得到的，若函数f（2x+1）是偶函数，则其图象关于y轴对称，故f（2x）的图象关于直线x=

1

2

对称，即④正确；
故答案为：①②③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握基本初等函数的图象和性质，函数图象的平移变换法则，函数的奇偶性及对称性，是解答的关键．