Question

已知函数．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数．若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：函数的定义域为（0，+∞），．
（1）当a=2时，函数，f′（x）=，
因为f（1）=0，f'（1）=2．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即2x-y-2=0．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
①当a≤0时，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②当a＞0时，△=4-4a²，
（ⅰ）若0＜a＜1，
由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；
由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．
所以函数f（x）的单调递增区间为和，
单调递减区间为．
（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3））因为存在一个x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
则ax₀＞2lnx₀，等价于．
令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）_min”．
对F（x）求导，得．
因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．
所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．
分析：（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；
（3）存在一个x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），则ax₀＞2lnx₀，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）_min”．利用导数易求其最小值．
点评：本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．