Question

4．如图，平行四边形ABCD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，E为DC的中点，那么$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{EB}$所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{7}$
• B． -$\frac{\sqrt{7}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{14}$
• D． -$\frac{\sqrt{7}}{14}$

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，代入夹角公式计算．

解答 解：以AB所在直线为x轴，A为原点，建立平面直角坐标系，如图，则A（0，0），B（2，0），C（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{EB}$|=$\sqrt{（{\frac{1}{2}）}^{2}+（{-\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=1.$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EB}$=$\frac{5}{4}-\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{EB}$＞=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算在集合中的应用，建立平面直角坐标系是快捷解题方法之一．