【题目】集合,对于正整数m,集合S的任一m元子集中必有一个数为另外m-1个数乘积的约数.则m的最小可能值为__________。
【答案】26
【解析】
所有不大于100的素数共有25个,记其构成的组合为
T={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}.
注意到,集合T中每一个元素均不能被T中其余24个元素之积整除.
故.
另一方面,用反证法证明:对于集合S的任一26元子集,其中必有一个数为另外25个数乘积的约数.
为叙述方便,对于素数p和正整数x,记表示x中缩含p的幂指数.
若存在集合S的某个26元子集A,对每个,x均不整除集合A中其余25个数乘积,则对每个,存在x的素因子p,使得,称这样的素数p为x的特异素因子,这种特异素因子不是唯一的.
由于,且所有特异素因子均属于集合S,而集合S中只有25个素数,故必有集合A的两个不同元素x、y具有同一个特异素因子p.
由特异性及,知.
类似地,,矛盾.
综上,m的最小可能值为26.
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【题目】甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的5道题。规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.
(I)求甲能入选的概率.
(II)求乙得分的分布列和数学期望;
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【题目】圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母表示,早在公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果,他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人,这比欧洲早了约1000年,在生活中,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值;从区间内随机抽取200个数,构成100个数对,其中满足不等式的数对共有11个,则用随机模拟的方法得到的的近似值为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到焦点的最长距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(0,2)的直线l(不过原点O)与椭圆C交于两点A、B,M为线段AB的中点.
(ⅰ)证明:直线OM与l的斜率乘积为定值;
(ⅱ)求△OAB面积的最大值及此时l的斜率.
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