Question

若椭圆

x2

12

+

y2

8

=1上有两点P、Q关于直线l：6x-6y-1=0对称，则PQ的中点M的坐标是（　　）

• A、(

  1

  3

  ，

  1

  6

  )
• B、(

  1

  2

  ，

  1

  3

  )
• C、(-

  1

  3

  ，-

  1

  2

  )
• D、(-

  1

  2

  ，-

  1

  3

  )

Answer 1

分析：因为直线l是线段PQ的垂直平分线，所以设直线PQ的方程为y=-x+m，把直线PQy=-x+m代入2x²+3y²=24，并整理，得
5x²-6mx+3m²-24=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

6m

5

，y1+y2=-x1+m-x2+m=

4m

5

，所以PQ的中点坐标M（

3m

5

，

2m

5

），由点M（

3m

5

，

2m

5

）在直线l：6x-6y-1=0上，解得m=

5

6

．由此能求出M（

1

2

，

1

3

）．

解答：解：∵两点P、Q关于直线l：6x-6y-1=0对称，
∴直线l是线段PQ的垂直平分线，
∵k_PQ=1，∴k_PQ=-1，
设直线PQ的方程为y=-x+m，
把直线PQy=-x+m代入2x²+3y²=24，并整理，得
5x²-6mx+3m²-24=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

6m

5

，y1+y2=-x1+m-x2+m=

4m

5

，
∴PQ的中点坐标M（

3m

5

，

2m

5

），
∵点M（

3m

5

，

2m

5

）在直线l：6x-6y-1=0上，
∴6×

3m

5

-6×

2m

5

-1=0，
解得m=

5

6

．
∴M（

3m

5

，

2m

5

）为M（

1

2

，

1

3

）．
故选B．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．