Question

定义在R上的函数f（x）满足．若，则n

1. A.
   1
2. B.
   4
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

D
分析：采用换元法并结合二次函数的性质，算出当x∈[0，2]时，[f（x）]_min=-，此时x=．然后类似地算出当x∈[-2，0]、x∈[-4，-2]、x∈[-6，-4]时，f（x）在各个区间上的最小值，即可得到若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值为-时，x∈[-6，-4]，由此即可得到本题的答案．
解答：①∵当x∈[0，2]时，f（x）=，
∴令2^x=t，得f（x）=（t-1）（t-4）=g（t）
当且仅当t=时，[f（x）]_min=g（）=-，此时x=∈[0.2]．
②当x∈[-2，0]时，f（x）=f（x+2）=，
类似①的方法，可得当x=∈[-2，0）时，[f（x）]_min=-；
③当x∈[-4，-2]时，f（x）=f（x+2）=
类似①的方法，可得当x=∈[-4，-2）时，[f（x）]_min=-；
④当x∈[-6，-4]时，f（x）=f（x+2）=
类似①的方法，可得当x=∈[-4，-2）时，[f（x）]_min=-
综上所述，若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值为-时，n=3
故选：D
点评：本题给出抽象函数f（x），在已知在x∈[0，2]时函数表达式且f（x+2）=2f（x）的情况下，求若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值为-时n的值．着重考查了函数的对应法则、二次函数的图象与性质和函数值域求法等知识，属于中档题．