Question

设z是虚数，w＝是实数，且－1＜w＜2．

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；

(2)设u＝，求证：u为纯虚数；

(3)求w－u²的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：设z＝a＋bi(a、b∈R，且b≠0)， 　　则w＝ 　　＝()＋()i． 　　∵w是实数，∴＝0． 　　由b≠0，得a2＋b2＝1，即|z|＝1． 　　∵|z|＝1，∴·z＝|z|2＝1． 　　∴w＝＝2a． 　　由已知－1＜w＜2，即－1＜2a＜2，解得． 　　(2)证明：u＋＝＋＝＝0， 　　∵z≠1(否则w＝2矛盾)， 　　∴u≠0． 　　从而u为纯虚数． 　　(3)解：u＝， 　　w－u2＝2a－()2＝ 　　＝ 　　＝2(1＋a)＋－3． 　　∵，∴． 　　∴4≤2(1＋a)＋． 　　∴w－u2的最小值为4． 　　点评：一个复数是实数的条件是共轭复数是其本身；一个复数为纯虚数的条件是与其共轭复数的和为零，本题通过设复数z＝a＋bi(a、b∈R)将复数问题转化为实数问题解决．