Question

如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB=120km，∠BAC=75°，∠ABC=45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．
（1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；
（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．
（3）求10点时甲、乙两车的距离．
（参考数据：

2

≈1.4，

3

≈1.7，

6

≈2.4，

331

≈18.2）

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，∠ACB=60°，利用

AB

sin60°

=

BC

sin75°

=

AC

sin45°

，可求A、C，B、C两站距离；
（2）先分别求甲车从车站A开到车站C，乙车从车站B开到车站C的时间，从而可确定两名旅客能否在车站C处利用停留时间交换；
（3）先求10点时甲车离开C站的距离为，乙车离开C站的距离，再利用余弦定理求两车的距离．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ACB=60°．∵

AB

sin60°

=

BC

sin75°

=

AC

sin45°

，
∴AC=

120sin45°

sin60°

=

120× 2 2

3 2

=40

6

≈96(km)，BC=

120sin75°

sin60°

=

120× 6 + 2 4

3 2

=60

2

+20

6

≈132(km)．
（2）甲车从车站A开到车站C约用时间为

96

96

=1（小时）=60（分钟），即9点到C站，至9点零10分开出．
乙车从车站B开到车站C约用时间为

132

120

=1.1（小时）=66（分钟），即9点零6分到站，9点零16分开出．
则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上．
（3）10点时甲车离开C站的距离为

50

60

×96=80(km)，乙车离开C站的距离为

44

60

×120=88(km)，
两车的距离等于

802+882-2×80×88×cos120°

=8

100+121+110

=8

331

≈8×18.2=145.6(km)

点评：本题主要考查利用正弦、余弦定理解决实际问题，关键是构建三角形，确定边角关系．