Question

设2a+1，a，2a-1为△ABC三边的长．
（1）求实数a的范围；
（2）若△ABC为钝角三角形，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，可得，∴2a+1+a＞2a-1，a+2a-1＞2a+1，2a+1+2a-1＞a，由此求得实数a的取值范围．
（2）若△ABC为钝角三角形，由题意可得2a+1为最大边，设最大边对应的角为θ，由余弦定理可得 cosθ=

a-8

2(2a-1)

＜0，解得

1

2

＜a＜8．再由cosθ≠-1，解得 a≠-2．结合（1）的结论，可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵2a+1，a，2a-1为△ABC三边的长，∴2a+1+a＞2a-1，a+2a-1＞2a+1，2a+1+2a-1＞a，
解得 a＞2．
∴实数a的范围 （2，+∞）．
（2）若△ABC为钝角三角形，由题意可得2a+1为最大边，设最大边对应的角为θ，
∴由余弦定理可得 cosθ=

a2+(2a-1)2-(2a+1)2

2a(2a-1)

=

a2-8a

2a(2a-1)

=

a-8

2(2a-1)

＜0，解得

1

2

＜a＜8．
再由cosθ≠-1，即

a-8

2(2a-1)

≠-1，解得 a≠-2．
再由（1）可得，a＞2．
综上可得 2＜a＜8，实数a的取值范围为（2，8）．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，须牢记三角形的三边关系为：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于中档题．