Question

19．已知点C（1，0），点A、B是⊙O：x²+y²=9上任意两点，且满足$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，点P为弦AB的中点，则点P的轨迹方程为x²-x+y²=4．

Answer 1

分析 先由条件求得AC⊥BC以及|CP|=|AP|=|BP|=$\frac{1}{2}$|AB|，再利用垂径定理得|OP|²+|CP|²=9，整理即可求得点P的轨迹T的方程

解答 解：连接CP，由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，知AC⊥BC
∴|CP|=|AP|=|BP|=$\frac{1}{2}$|AB|，
由垂径定理知|OP|²+|AP|²=|OA|²即|OP|²+|CP|²=9（4分）
设点P（x，y），
有（x²+y²）+[（x-1）²+y²]=9化简，得到x²-x+y²=4．
故答案为：x²-x+y²=4．

点评 本题涉及到求轨迹方程问题．在求轨迹方程时，一般都是利用条件找到一个关于动点的等式，整理即可求出动点的轨迹方程．