Question

1．在体积为$\frac{4}{3}$的三棱锥S-ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC．若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（　　）

• A． $\frac{9}{2}π$
• B． $\frac{27}{2}π$
• C． 12π
• D． $\frac{8\sqrt{2}}{3}π$

Answer 1

分析 求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出S到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．

解答 解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴△ABC外接圆半径$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，三棱锥S-ABC的体积为$\frac{4}{3}$，
∴S到底面ABC的距离h=2，
∴球心O到平面ABC的距离为|2-R|，
由平面SAC⊥平面ABC，利用勾股定理可得球的半径为：R²=（2-R）²+（$\sqrt{2}$）²，
∴R=$\frac{3}{2}$
球的体积：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{9}{2}$π．
故选：A．

点评 本题考查球的体积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．