Question

设f（x）=（4^x+4^-x）-a（2^x+2^-x）+a+2（a为常数）
（1）当a=-2时，求f（x）最小值
（2）求所有使f（x）的值域为[-1，+∞）的a的值．

Answer 1

分析：（1）利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质进行求解即可．
（2）根据二次函数的图象和性质，建立值域关系即可求出a的值．

解答：解：设t=2^x+2^-x，则t≥2，则4^x+4^-x=t²-2，
∴f（x）=（4^x+4^-x）-a（2^x+2^-x）+a+2等价为y=g（t）=t²-2-at+a+2=t²-at+a．
（1）若a=-2，则y=g（t）=t²+2t-2=（t+1）²-3，
∵t≥2，
∴g（t）在[2，+∞）上单调递增，
∴当t=2时，函数取得最小值g（2）=4+4-2=6．
（2）要使f（x）的值域为[-1，+∞），
则函数g（t）的最小值为-1，
即

4a-(-a)2

4

=

a2+4a

4

=-1，
即a²+4a+4=0，
∴（a+2）²=0，
解得a=-2．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，要求熟练掌握二次函数的图象和性质．