Question

正三棱锥P-ABC中，PA=1，则其体积的最大值是________．

Answer 1

分析：设H为底面△ABC的中心，延长AH交BC于E，连接PH．设AB=x，则AH=x，得三棱锥P-ABC体积V=x²，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当x=时，正三棱锥P-ABC体积的最大值为．
解答：解：设H为底面△ABC的中心，延长AH交BC于E，连接PH
∵三棱锥P-ABC是正三棱锥
∴PH⊥平面ABC，且AE是BC边上的中线
设AB=x，则AH=AE=x=x
Rt△PAH中，PH==
∴三棱锥P-ABC体积V=S_△ABC•AH=×x²×
=x²
∵x²=2，
且••（3-x²）≤（）³=1
∴x²≤2，可得V=x²≤
当且仅当=3-x²时，即x=时，正三棱锥P-ABC体积的最大值为
故答案为：
点评：本题给出正三棱锥的侧棱长为1，求体积的最大值．着重考查了正三棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．