Question

已知椭圆的离心率等于，且经过点（1，），
（1）求椭圆C的方程；
（2）若经过点（-1，）的直线l与椭圆C交于A、B两个不同点，且满足（O为坐标原点）关系的点M也在椭圆C上，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率等于，且经过点（1，），建立方程，求得几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用向量知识，结合韦达定理，即可求得结论．
解答：解：（1）由题意知，，解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，
消去y可得（1+4k²）x²+（8k²+4k）x+4k²+4k-3=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
设M（x，y），则∵
∴（x，y）=（，）
∵M在椭圆上，∴
∴
∴x₁x₂+4y₁y₂=0
∵x₁x₂=，∴y₁y₂=
∴+4×=0
∴k=
当l的斜率不存在时，不满足条件
∴直线l的方程为x-2y+2=0．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，联立方程，正确运用韦达定理是关键．