Question

几何证明选讲：如图，已知圆A，圆B都经过点C，BC是圆A的切线，圆B交AB于点D，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE．求证DE•DC=2AD•DB．

Answer 1

证明：∵BC是⊙A的切线，∴AC⊥BC，
∵∠ACD+∠BCD=90°，AC=AE，BC=BD，
∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠BDC，
∵∠ADE=∠BDC，∴∠E+∠ADE=90°，
∴AE⊥AB．
延长DB交⊙B于点F，连接FC，则DF=2DB，∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠F，∴∠E=∠F，∴Rt△ADE∽Rt△CDF，
∴，∴DE•DC=AD•DF，
∵DF=2DB，
∴DE•DC=2AD•DB．
分析：利用圆的切线性质即可得出AC⊥BC，再利用AC=AE，BC=BD，可得∠ACD=∠E，∠BCD=∠BDC，从而得出∠EAB=90°．延长DB交⊙B于点F，连接FC，则DF=2DB，∠DCF=90°，可得∠E=∠F．
于是Rt△ADE∽Rt△CDF，利用相似三角形的性质即可得出．
点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．