Question

1．已知⊙O：x²+y²=4（注：横、纵坐标是有理数的点称为有理点）．
①⊙O上只有四个有理点；
②⊙O上有无数个有理点；
③⊙O上只有有限个无理点；
④以⊙O上点（1，$\sqrt{3}$）为圆心，半径为4的圆上最多只有两个有理点．
以上结论正确的序号为②．

Answer 1

分析 由新定义，结合圆的参数方程可得x=2cosα，y=2sinα（0≤α＜2π），通过举例即可判断①不对，②正确；
再由同角的平方关系，举例判断③不正确；对于④，通过推理，假设存在这样的有理点，即可得到不成立．

解答 解：由x²+y²=4，可设x=2cosα，y=2sinα（0≤α＜2π），
可得点（0，2），（0，-2），（-2，0），（2，0），（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$），（$\frac{6}{5}$，-$\frac{8}{5}$），
（-$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$），（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{8}{5}$），（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），…，满足条件，
故①不对，②正确；
对于③，由x²+y²=4，可得（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
（$\sqrt{1.1}$，$\sqrt{2.9}$），…，均满足条件，
故③不正确；
对于④，⊙O上点（1，$\sqrt{3}$）为圆心，半径为4的圆，
可设为（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=16，若x，y均为有理数，则y必为0，x不为有理数，
故不存在这样的有理点．故④错误．
故答案为：②．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查圆的方程的运用，考查推理能力，属于中档题．