Question

以F₁（0 ，-1），F₂（0 ，1）为焦点的椭圆C过点P（，1）。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆方程为（a>b>0），
由已知c =1，又2a=，
则a=，b²=a²-c²=1，
椭圆C的方程是+x²=1；
（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1，
若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是，
由解得
即两圆相切于点（1，0），
因此所求的点T如果存在，只能是（1，0），
事实上，点T（1，0）就是所求的点，证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0），
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+），
由
即，
记点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
又因为=（x₁，1，y₁），=（x₂，1，y₂），
=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k₂（x₁+）（x₂+）
=（k₂+1）x₁x₂+（_k2-1）（x₁+x₂）+k₂+1
=（k₂+1）+（k₂-1）++1=0，
则TA⊥TB，故以AB为直径的圆恒过点T（1，0），所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件。