Question

12、定义在正实数上的连续函数f（x）满足：f（1）=2，且对于任意的正实数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），则f（4）=（　　）

A、4

B、6

C、8

D、16

Answer 1

分析：由于知晓f（1）=2故解本题关键是找出f（4）与f（1）之间的关系，注意用对于任意的正实数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），“的结论，采取了连续赋值的方法即可．

解答：解：∵对于任意的正实数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）．
又f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）
∴f（4）=4f（1）=4×2=8．
故选C．

点评：本题考查函数值的知识，有一定的难度，注意仔细观察所给式子的形式及要求解的函数，这是解答的关键．在研究其函数的值本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，在求值中根据恒等式的结构把已知用未知表示出来，做题时注意体会抽象函数恒等式的用法规律．