Question

 如图，在棱长为2的正方体ABCD -A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AA₁，和CC₁的中点．

（I）求证：EF∥平面ACD₁

（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成角的余弦值；

（Ⅲ）在棱BB₁上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知

得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2 ）、F（0，2，1）．…………（2分）  

（空间直角坐标系的建立和相关点的坐标描述各1分！）

（Ⅰ）易知平面ACD₁的一个法向量是=（2，2，2）．………（4分）

 

又∵=（-1,2，-1），由·= -2+=0，

∴⊥，而EF平面ACD₁，∴EF∥平面ACD₁………………（6分）

（Ⅱ） ∵=（0,2，0），

cos<,>=

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为…（9分）．

（Ⅲ）设点P（2，2，t）（0<t≤2），平面ACP的一个法向量为=（x，y，z），

则∵=（0，2，t）, =（-2，2，0），

∴取．

易知平面ABC的一个法向量，

依题意知，<，>=30°或<，>=150°，

∴|cos<，>|=……（11分）

即，解得∵，

∴在棱BB₁上存在一点P，当BP的长为时，

二面角P-AC-B的大小为30°．………（13分）